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En la unidad anterior se estudiaron las relaciones trigonométricas para los ángulos y lados de un triángulo rectángulo. En este documento se analizan las relaciones trigonométricas para cualquier ángulo con ayuda de una herramienta: La circunferencia unitaria o círculo goniométrico.

Se espera que los estudiantes determinen relaciones trigonométricas de ángulos mayores de 90º a partir del círculo trigonométrico e identifiquen en qué cuadrante queda el lado terminal de un ángulo.

En el desarrollo de esta unidad es conveniente que el estudiante tenga dominio de los conceptos y elementos básicos de la circunferencia, perímetro, área, longitud de arco y de la localización de puntos en el plano cartesiano.

Se abordarán las siguientes temáticas:

  • Circunferencia unitaria
  • Ángulos en posición normal
  • Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal
  • Razones trigonométricas usando el ángulo de referencia

Circunferencia unitaria

La circunferencia unitaria es el conjunto de puntos del plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado centro y cuyo centro coincide el origen de coordenadas y su radio es una unidad.

Dicha circunferencia se utiliza con el fin de poder estudiar fácilmente las razones trigonométricas y funciones trigonométricas, mediante la representación de triángulos rectángulos auxiliares.

La expresión x2 + y2 = r2, es la ecuación de la circuferencia y permite establecer si un punto pertenece o no a la circunferencia. Para saber si un punto (a,b) está en la circunferencia unitaria basta establecer si a2 + b2 = 12.

Por ejemplo, determinar si el punto (-1,0) está en la circunferencia:

Solución: tenemos que verificar que el punto (-1,0) satisface la ecuación [-1]2 + [0]2 = 12

[-1]2 + [0]2 = 12

[1] + [0] = [1]

1 + 0 = 1

La igualdad se cumple por tanto (-1,0) está en la circunferencia.


Utiliza la siguiente escena para interactuar con los diferentes elementos de la circunferencia unitaria. Activa y desactiva las casillas para mostrar/ocultar elementos.

¿Cuáles son los intervalos de ángulos determinados por cada cuadrante? ¿En qué cuadrante queda el lado terminal de los siguientes ángulos 120º, 250º, 330º, 2π;/3, 5/12π; π/2?

Ángulo en posición normal

Un ángulo está en posición normal si su vértice coincide con el origen del plano cartesiano, su lado inicial está sobre el eje positivo de las abcisas y el lado terminal es la única parte del ángulo que puede moverse.

Si el lado final está en el segundo cuadrante, el ángulo se denomina ángulo del segundo cuadrante y análogamente para los otros cuadrantes.

Si el lado final coincide con un eje se dice que es un ángulo cuadrantal y no pertenece a ningún cuadrante. Las medidas de los ángulos cuadrantales son múltiplos de 90º o 2π rad. Los principales ángulos cuadrantales son 0º, 90, 180º, 360º, 450º

La siguiente escena muestra ángulos ennposición normal positivos y negativos. Mueve el deslizador azul tanto para la derecha como para la izquierda.

Ángulos coterminales

La escena que sigue cuyo autor es Tim Brzezinski, ilustra dinámicamente lo que significa que cualquier 2 ángulos (dibujados en posición estándar) se clasifiquen como ÁNGULOS COTERMINALES. Interactúa con este applet por unos minutos.

Mueve el deslizador "Slide me" y analiza el comportamiento de los dos ángulos mostrados.

Sin buscar la definición en otra pestaña en su navegador de Internet, describa, en palabras, lo que significa que dos ángulos (dibujados en posición estándar) se clasifiquen como ÁNGULOS COTERMINALES.

Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal

Las razones trigonométricas de ángulos en posición normal se calculan relacionando las coordenadas de un punto de su lado final (diferente al origen de coordenadas) y su distancia del origen (radio vector).

No importa en que cuadrantes estemos las definiciones funcionan igual, pero el ángulo debe estar en posición normal.

La figura que sigue muestra un ángulo en posición normal ubicado en el segundo cuadrante. Las razones trigonométricas de este ángulo se calculan teniendo en cuenta los valores de las coordenadas del punto P(x,y) y su la distancia (r) al origen del plano cartesiano.

Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal

Las razones trigonométricas son independientes del punto elegido sobre el lado terminal, pero el signo de las razones trigonométricas no es siempre el mismo ya que depende del cuadrante del ángulo, las coordenadas (x,y) pueden tener signo positivo o negativo.

Para definir las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera, se dibuja una circunferencia de radio 1. Los puntos sobre esta circunferencia tendrán por componente x el valor del coseno del ángulo y por componente y, el valor del seno del ángulo. Si se observa detenidamente, esta definición es equivalente para ángulos agudos a la definición de seno y coseno de la unidad anterior, teniendo en cuenta que la hipotenusa mide 1, como puede observarse en este gráfico interactivo: